Matrix $A \in \mathbb{R^{m \times n}}$는 vector $\mathbf{x} \in \mathbb{R^n}$를 vector $\mathbf{y} \in \mathbb{R^m}$로 옮기는 사상으로 생각할 수 있다!

Matrix를 vector의 사상으로 생각하면 matrix의 의미에 대해서 깊이 이해할 수 있는데, 그 전에 중요 개념을 정의하고 넘어가겠습니다.

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0. Notation

Kernel (핵)

주어진 matrix $A$에 대하여 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 를 만족시키는 vector $\mathbf{x}$의 집합을 $A$의 kernel (Ker A) 혹은 Null space (N(A)) 라고 합니다.

• 정의역($\mathbb{R^n}$)의 부분집합이 됩니다.
• $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$의 해집합 $\mathbf{x}$는 Ker A ($\mathbf{x_n}$)의 평행한 집합입니다. ($\mathbf{x = x_n + x_p}$)

Image (상)

주어진 matrix $A$에 대하여 $\mathbf{y} = A \mathbf{x}$의 집합을 $A$의 image (Im A) 혹은 range, Column space (C(A)) 라고 합니다.

• 공역($\mathbb{R^m}$)의 부분집합이 됩니다.

Dimension of a subspace

어떤 subspace의 dimension은 해당 subspace의 basis (vector)의 개수입니다.

Rank

dim Im A를 matrix A의 rank rank A로 정의합니다.

• Regular matrix P, Q에 대하여 rank(PA) = rank(AQ) = rank A가 성립합니다.
• 모든 matrix A, B에 대하여 rank(BA) $\leq min$(rank A, rank B)

Rank-nullity theorem

Matrix $A \in \mathbb{R^{m \times n}}$에 대하여, dim Ker A + dim Im A = n 이 성립합니다.
즉, dim Im A = r → dim Ker A = n - r

Injective mapping (One-to-one mapping, 단사 사상)

동일한 결과 $\mathbf{y}$가 나오는 원인 $\mathbf{x}$가 유일한 경우 mapping $\mathbf{y} = A\mathbf{x}$를 injective mapping 이라고 합니다.
Ker A가 $\mathbf{0}$인 경우에 해당합니다. (dim Ker A = 0, dim Im A = $n$)

Surjective mapping (전사 사상)

모든 결과 $\mathbf{y}$에 대하여 해당하는 원인 $\mathbf{x}$가 존재하는 경우 mapping $\mathbf{y} = A\mathbf{x}$를 surjective mapping 이라고 합니다.
Im A가 공역과 일치하는 경우에 해당합니다. (dim Ker A = 0, dim Im A = $m$)

Bijective mapping (One-to-one correspondence, 전단사 사상)

Mapping $\mathbf{y} = A\mathbf{x}$가 injective, surjective mapping인 경우 bijective mapping 이라고 합니다.
Ker A가 $\mathbf{0}$이고 Im A가 공역과 일치하는 경우입니다. (dim Ker A = 0, dim Im A = m = n)

1. Square matrix ($m = n$)

Matrix $A \in \mathbb{R^{2 \times 2}}$ 에서 나타날 수 있는 경우에 대하여 Ker A와 Im A의 모양을 잘 떠올리면서 생각해봅시다.

• dim Ker A = 0, dim Im A = 2 → rank A = m = n
  Injection: O, Surjection: O → A is bijective mapping

이러한 matrix를 regular matrix (non-singular, invertible matrix, 정칙행렬) 라 합니다.
Regular matrix A의 det A $\neq$ 0 이고 $A^{-1}$가 존재하여 결과 $\mathbf{y}$에 대한 원인 $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{y}$로 유일하게 정해집니다.
한편, det A = 0 이고 $A^{-1}$가 존재하지 않아 여러 개의 vector를 하나의 vector로 mapping 시키는 square matrix를 singular matrix (특이행렬) 라 부릅니다.

• dim Ker A = 1, dim Im A = 1
  Injection: X, Surjection: X → A is not injective and surjective mapping

• dim Ker A = 2, dim Im A = 0
  Injection: X, Surjection: X → A is not injective and surjective mapping

2. Rectangular matrix ($m > n$)

Matrix $A \in \mathbb{R^{3 \times 2}}$ 에서 나타날 수 있는 경우에 대하여 Ker A와 Im A의 모양을 떠올려봅시다.

• dim Ker A = 0, dim Im A = 2 → rank A = n
  Injection: O, Surjection: X → A is injective mapping

• dim Ker A = 1, dim Im A = 1
  Injection: X, Surjection: X → A is not injective and surjective mapping

• dim Ker A = 2, dim Im A = 0
  Injection: X, Surjection: X → A is not injective and surjective mapping

3. Rectangular matrix ($m < n$)

Matrix $A \in \mathbb{R^{2 \times 3}}$ 에서 나타날 수 있는 경우에 대하여 Ker A와 Im A의 모양을 떠올려봅시다.
주의할 점은 Im A는 공역($\mathbb{R^m}$)의 부분집합이므로 dim Im A $\leq m$ 이어야합니다.

• dim Ker A = 1, dim Im A = 2 → rank A = m
  Injection: X, Surjection: O → A is surjective mapping

• dim Ker A = 2, dim Im A = 1
  Injection: X, Surjection: X → A is not injective and surjective mapping

• dim Ker A = 3, dim Im A = 0
  Injection: X, Surjection: X → A is not injective and surjective mapping