Elementary Row Opeation (기본행 연산)
- $E_i(c): i$ 행을 c배 한다.
- $E_{i, j}: i, j$ 행을 교환시킨다.
- $E_{i, j}(c): j$ 행을 c배하여 $i$ 행에 더한다.

행렬 및 벡터들 간의 곱을 scalar 곱셈의 합의 나열만이 아니라 linear combination의 나열로 볼 수 있는지가 선형대수학에서 가장 중요한 포인트라고 생각합니다. 그런 의미에서 굉장히 중요하고 반드시 숙지하고 있어야 하는 내용입니다!

기본행 연산에 해당하는 행렬들은 모두 regular matrix이고 왼쪽 에서 곱할 때 그 효과가 나타납니다.
반대로 이 행렬들을 오른쪽 에서 곱하게 되면 행 이 아니라 열 에 대한 연산을 수행하게 됩니다.
단, $E_{i, j}(c)$의 경우 transpose를 취한 후에 연산해야 동일한 의미를 나타낼 수 있습니다.

열(행)의 개수가 3개인 matrix를 예제로 하여 살펴보겠습니다.

1. ERO matrix

$1) \ E_i(c)$

\(\begin{aligned} E_1(2) = \begin{pmatrix} \bf{\color{red}2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}\)

$2) \ E_{i, j}$

\(\begin{aligned} E_{1, 2} = \begin{pmatrix} 0 & \bf{\color{red}1} & 0 \\ \bf{\color{red}1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}\)
$E_{i, j} \text{ or } P_{i, j}: I$ 에서 $i$ 행(열)과 $j$ 행(열)을 바꾼 행렬로, permutation matrix (순열 행렬, 치환행렬) 라고도 부릅니다.

$3) \ E_{i, j}(c)$

\(\begin{aligned} E_{3, 1}(5) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \bf{\color{red}5} & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}\)

2. Elementary row operation

$1) \ E_i(c)A$

\(\begin{aligned} E_1(2)A = \begin{pmatrix} \bf{\color{red}2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} & \mathbf{r}_1 & \\ & \mathbf{r}_2 & \\ & \mathbf{r}_3 & \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} & \bf{\color{red}2} \times \mathbf{r}_1 & \\ & \mathbf{r}_2 & \\ & \mathbf{r}_3 & \\ \end{pmatrix} \end{aligned}\)

$2) \ E_{i, j}A$

\(E_{1, 2}A = \begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 & \bf{\color{red}1} & 0 \\ \bf{\color{red}1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} & \mathbf{r}_1 & \\ & \mathbf{r}_2 & \\ & \mathbf{r}_3 & \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} & \mathbf{r}_2 & \\ & \mathbf{r}_1 & \\ & \mathbf{r}_3 & \\ \end{pmatrix}\end{aligned}\)

$3) \ E_{i, j}(c)A$

\(\begin{aligned} E_{3, 1}(5)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \bf{\color{red}5} & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} & \mathbf{r}_1 & \\ & \mathbf{r}_2 & \\ & \mathbf{r}_3 & \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} & \mathbf{r}_1 & \\ & \mathbf{r}_2 & \\ & \mathbf{r}_3 + \bf{\color{red}5} \times \mathbf{r}_1 & \\ \end{pmatrix}\end{aligned}\)

3. Elementary column operation

$1) \ AE_i(c)$

\(\begin{aligned} AE_1(2) = \begin{pmatrix} \\ \mathbf{c}_1 & \mathbf{c}_2 & \mathbf{c}_3 \\ \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bf{\color{red}2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \\ \bf{\color{red}2} \times \mathbf{c}_1 & \mathbf{c}_2 & \mathbf{c}_3 \\ \\ \end{pmatrix} \end{aligned}\)

$2) \ AE_{i, j}$

\(\begin{aligned} AE_{1, 2} = \begin{pmatrix} \\ \mathbf{c}_1 & \mathbf{c}_2 & \mathbf{c}_3 \\ \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \bf{\color{red}1} & 0 \\ \bf{\color{red}1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \\ \mathbf{c}_2 & \mathbf{c}_1 & \mathbf{c}_3 \\ \\ \end{pmatrix} \end{aligned}\)

$3) \ AE^T_{i, j}(c)$

\(\begin{aligned} AE^T_{3, 1}(5) = \begin{pmatrix} \\ \mathbf{c}_1 & \mathbf{c}_2 & \mathbf{c}_3 \\ \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \bf{\color{red}5} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \\ \mathbf{c}_1 & \mathbf{c}_2 & \mathbf{c}_3 + \bf{\color{red}5} \times \mathbf{c}_1 \\ \\ \end{pmatrix} \end{aligned}\)