Regular matrix / Singular matrix
Square matrix (정방행렬) 중에서 역행렬이 존재하는 행렬을 regular matrix (정칙행렬)라고 하고 역행렬이 존재하지 않는 행렬을 singular matrix (특이행렬)라고 합니다.

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행렬 $A$가 정칙행렬이라는 말에는 여러가지 중요한 의미들이 포함되어 있습니다.

$A$ is a regular matrix means..

0. Notation

1) $A \in \mathbb{R^{n \times n}}: X \in \mathbb{R^n} → Y \in \mathbb{R^n}$
2) $\mathbf{x_1, x_2} \in X , \ \mathbf{y} \in Y$

1. $A^{-1}$가 존재한다.

1) $A$는 bijective mapping (전단사 사상)으로 모든 $\mathbf{y} \in \mathbb{R^n}$에 대하여 $A\mathbf{x} = \mathbf{y}$가 되는 $\mathbf{x}$가 존재한다.

2. $A$는 injective mapping (단사 사상)이다.

1) 서로 다른 $\mathbf{x_1}$과 $\mathbf{x_2}$가 동일한 $\mathbf{y}$에 mapping되지 않는다.
2) Ker A = $\mathbb{0}$
3) dim Ker A = $0$

3. $A$는 surjective mapping (전사 사상)이다.

1) $A$의 사상에 의해 이동된 $X$는 $Y$공간을 전부 포함한다.
2) Im A = $\mathbb{R^n}$
3) dim Im A = rank A = $n$

4. $A$의 column (row) vector들이 linearly independent하다.

5. det A $\neq 0$

6. $A$의 eigenvalue 중 $0$이 존재하지 않는다.